Equações Modulares


Denominamos equação modular toda equação que contém a incógnita em um módulo.
Segundo a definição do módulo temos:
Donde concluímos que o módulo de um número real x é positivo ou nulo, nunca negativo.
Após esta breve revisão de módulo, vamos ver como podemos solucionar alguns tipos de equações modulares.

Solucionando Equações Modulares no Conjunto dos Números Reais

Para encontrarmos os valores de x que tornam esta equação verdadeira, devemos eliminar o módulo e escrever duas equações. Na primeira o segundo membro será o oposto de 11 e na outra será o próprio número 11:
Em relação a estas duas equações não há o que pensar. -11 e 11 são solução da equação .
Se quisermos a resposta na forma de um conjunto, representando por S o conjunto solução, temos:
Solucionemos agora este exemplo não tão óbvio.
Assim como fizemos na caso anterior, vamos eliminar o módulo escrevendo duas equações, sendo que em uma delas inverteremos o sinal do segundo membro.
Basta, portanto, solucionarmos cada uma delas e começando pela primeira:
Para a segunda equação temos:
Portanto  e 4 são as soluções desta equação.
No exemplo anterior havíamos desmembrando a equação modular em duas equações afim, neste exemplo a desmembraremos em duas equações quadráticas:
Vamos solucionar a primeira:
Quais são os números que somados totalizam 6 e que multiplicados produzem 9?
Não há dúvida de que 3 + 3 = 6 e de que . 3 = 9, então segundo as relações de Albert Girard o número 3 são as raízes desta equação.
Agora vamos solucionar a segunda equação:
Calculemos então o discriminante desta equação:
Finalmente temos o conjunto solução da equação :
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiramente vamos substituir |x| por y e encontrarmos as raízes da equação:
O discriminante é igual a 25:
O que nos leva às seguintes raízes:
Como inicialmente havíamos trocado o |x| por y, devemos desfazer a troca.
Para :
Como podemos observar, não existe um x real cujo |x| seja igual a -2, pois o módulo de um número real nunca poderá resultar em um número negativo.
Para :
Logo o conjunto solução da equação :
Solucionarmos esta equação modular precisamos analisar quando  e quando .
Quando  então , logo  e portanto:
Quando  então , logo  e consequentemente:
Concluindo:
Como pudemos observar, cada tipo de equação pode necessitar de um artifício específico para a sua resolução, no entanto em todos os casos precisamos levar em consideração a definição de módulo.


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1 comentários:

Meu deus, esse muleque deve ter uma pica enorme.

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