Sistemas lineares



Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
         A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

 Sistemas homogêneos
      Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:
 Veja um exemplo:
 
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.


  Sistema normal
Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

 Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
em que i  { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna pela coluna formada pelos termos independentes.

 Sistemas Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
          e    
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, Se Ssão equivalentes: S1 ~ S2.

 Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo:
 e    
S~S2

b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
S~S2

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K  IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Por exemplo:

Dado   , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.



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