Escalonamento de Sistemas Lineares


   Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
   Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
   Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
 a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
 b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
 c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

     Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1:   
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:


 Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:             
 Trocamos  a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:           
Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:           
2º passo: Anulamos os coeficientes  da 2º incógnita a partir da 3º equação:


Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:           
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6 z=3
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2  -7y - 9 = -2  y=-1
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=2
Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:   
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:


Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:          
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:           
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:


Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:         
Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)
Exemplo:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:


Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:          
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:                    
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:


Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação          
O sistema está escalonado. Como mgrau de indeterminação (GI):
GI= n - m
Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:


Consideramos o sistema em sua forma escalonada:           
Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:           GI  = n-m = 4-3 = 1
Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t=, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:
12z - 6= 3012z= 30 + 6 =
Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:
Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:
Assim, a solução do sistema é dada por S=, com IR.
Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema. 

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10 comentários:

ha eu não entenndo nada disso então pra mim ta mais ou menoos
}KKKKKKKKKKKKKKKKKKK '
- maiiis peloo que li parecee que vaii dar certo o trabalho !
huhuhuhuhu. valeewww fuii !

hahahaha pode cree!! good vibes e boas ferias garotada ;D

Achei bem interessante e está bem explicado e detalhado!

que porra, eu não consigo entender porra de nada dessa matemática !

é isso ai!!!!!!!!!! tony burro

Muito bom, galeres! Valeeu...
Foi de grande ajuda

aeee, resolveu meu problema , valeu

Escalonar ficou bem fácil, o problema é pra achar os valores de X, Y e Z, que não tá dando certo nos exemplos que eu tentei aqui.

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