Por que todo número elevado a zero é igual a um?

Inicialmente esclareço que a finalidade desta postagem é responder por que todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um?. A importante restrição diferente de zero não foi mencionada no título para não estendê-lo demais.


Resposta rápida (e correta!): todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um por definição.

Resposta legal: o que faremos a seguir é justificar o motivo de definir tal potência como sendo igual a um.

Relembremos que quando estamos falando de potências a expressão aquer representar um produto de n fatores iguais a a. Deste modo temos o seguinte exemplo:

5³ quer representar um produto de 3 fatores iguais a 5:

5³ = 5.5.5

Como de costume: o a é chamado de base e o n é chamado de expoente. Portanto, na potência 26 a base é o número dois e o expoente é o número seis.

Relembremos agora a seguinte regrinha (certamente bem conhecida de todo usuário e matemática):

am . an = am+n

Vejamos a regra acima sendo colocada em prática:

32 . 33 = 32+3

De fato:

32 . 33 = 3.33.3.335 = 32+3

Um argumento bastante simples para esta regra é o seguinte: em ambos os lados da igualdade temos um produto de m+n fatores iguais a a (convença-se disto!!).

Observação importante: a definição de potência, inicialmente, faz sentido apenas para quando o expoente é um número natural não nulo, ou seja, o zero não entra na definição de expoente, afinal não faz nenhum sentido falarmos em produto de zero fatores. Assim, na regrinha acima, m e n são números naturais diferentes de zero.

O ponto crucial é o seguinte: para definir quanto vale a expressão aos matemáticos desejam que a regra  acima de repete a base soma os expoentes continue válida.

Esta é exatamente a ideia que se deve seguir para escolher uma definição adequada. Ideia esta que, inclusive, não ocorre apenas neste caso: estender o conceito de modo que os resultados obtidos anteriormente continuem válidos.

No nosso caso o “conceito” é o de potência (que, como já dissemos, a princípio faz sentido apenas para números naturais não nulos), o “resultado anterior” é a regrinha dos expoentes apresentada acima. E estamos querendo estender o conceito para englobar o expoente zero. 

Vejamos o que acontece quando consideramos esta possibilidade:

Temos o seguinte resultado, já validado:

am . an = am+n

Queremos que o zero possa ser considerado um expoente, ou seja, queremos atribuir significado para a expressão a0. Mas queremos que a regra dos expoentes continue funcionando quando o expoente for zero, ou seja, queremos que seja válida a igualdade seguinte:

a0 . an = a0+n

Felizmente sabemos quanto vale a soma 0+n e portanto podemos escrever:

a0 . an = an

Agora reflita: qual é o valor que deve ser atribuído ao termo a0 de modo que a igualdade acima fique válida? 
Observe que quando multiplicamos an por anão acontece nada! 
Ou seja, o número an permanece o mesmo. Logo a unica escolha possível é:

a0 = 1

Espero então que tenha ficado claro que: defini-se a0 igual a um, pois é conveniente que assim seja, visto que fazendo isso se estende o conceito para englobar mais casos sem perder a validade da regra já conhecida.

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