Alguns Fatos da Tangente de x

Neste post veremos algumas propriedade curiosas da tanx. Não farei referência a função trigonométrica f(x) = tanx, devido ao fato que este assunto é muito bem explorado em vários livros. Talvez em um futuro post descrevo as funções trigonométricas.

Por volta de 1580, o matemático François Viéte descobriu um bonito teorema que desapareceu dos livros textos atuais: A Lei da Tangente que veremos a seguir.


Proposição 1: (Lei das Tangentes) Em triângulo ABC agudo, temos:


[;\frac{a+b}{a-b} = \frac{tan(A + B)/2}{\tan(A - B)/2} \quad \quad  (1);]


Demonstração: Para demostrar a identidade (1), aplicamos a lei dos senos no triângulo ABC, isto é,


[;\frac{a}{b}=\frac{\sin  A}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad  \frac{a+b}{b} = \frac{\sin A + \sin  B}{\sin B};] [;\text{e} \quad  \frac{a - b}{b} =  \frac{\sin A - \sin B}{\sin B};]

Usando as identidades



temos
[;\frac{a + b}{a  - b} = \frac{\sin A +\sin B}{\sin A - \sin B} =   \frac{2\sin[(A+B)/2]\cos[(A - B)/2]}{2\sin[(A - B)/2]\cos[(A + B)/2]};]
Aplicando a definição de tangente em um triângulo retângulo, segue o resultado.

Proposição 2: Se A,B e C são os ângulos internos de um triângulo ABC então:

[;\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\cdot \tan B \cdot \tan C \quad  \quad (2);]

Demonstração: Sendo A + B + C = 180°
, então

[;\tan C = \tan(180^{\circ} - A - B) = \frac{\sin(180^{\circ} -  A - B)}{\cos(180^{\circ} - A - B)} = - \frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)};]

[;\tan C = -\tan(A+B);]

Assim,

[;\tan C = - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \quad \Rightarrow;]

[;\tan C (1 - \tan A\cdot \tan B) = -\tan A - \tan B;]
Logo,

[;\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\cdot \tan B  \cdot \tan C;]


Corolário 1: Em um triângulo acutângulo ABC, o produto das tangentes dos [;3;] ângulos nunca é menor que [;3\sqrt{3};], ou seja,


[;\tan A\cdot \tan B \cdot \tan C \geq 3\sqrt{3} \quad \quad (2);]


Demonstração: Sendo o triângulo acutângulo, a tangente dos ângulos internos são positivas, de modo que podemos usar de desigualdade aritmética-geométrica , isto é,


[;\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{3} \geq  \sqrt[3]{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C};]


Pela Proposição 1, [;\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\cdot \tan B  \cdot \tan C;]. Assim,


[;\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C \geq 3\sqrt[3]{\tan A \cdot \tan  B \cdot \tan C};]


Elevando ao cubo e simplificando segue a desigualdade (2).


Para encerrar este post, vejamos a aplicação da tangente no cálculo da largura de um rio.


Uma pessoa com um teodolito ou um aparelho que pode ser confeccionado com um transferador mede os ângulos agudos A e B de uma margem de um rio, tomando como referência um ponto C do outro lado da margem do rio. Sabendo que a distância entre os pontos (que pode ser medida contando o número de passos) é l, determine a largura h do rio naquele trecho.


Resolução: No triângulo retângulo ADC, [;\tan A = h/x;], da onde segue que:


[;x = h/\tan A \quad \quad (3);]


e no triângulo retângulo [;BDC;], [;\tan B = h/y;], da onde segue que:


[;y = h/\tan B \quad \quad (4);]


Adicionando as expressões (3) e (4), temos


[;l = x + y = \frac{h}{\tan A} + \frac{h}{\tan  B} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{l}{\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan  B}};]

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