Trinômio quadrado perfeito

Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fatoração de expressão algébrica. Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito.

Oque é trinômio?

Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja exemplos:

3x2 + 2x + 1

20x3 + 5x – 2x2

2ab +5b + 3c

Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.

Oque é quadrado perfeito?

Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja:

Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 52 = 25.
Agora, devemos aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado à abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.




Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2 , então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A1 = (x + y)2

O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito.

2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A2 = x2 +2xy + y2

O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio.


As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

A1 = A2
(x + y)² = x² + 2xy + y

Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado fica (x + y)2.


Como identificar um trinômio quadrado perfeito?

Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja um exemplo:

Veja se o trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:


Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x2 + 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

Dado o trinômio m2 – m n + n2 , devemos tirar as raízes dos termos m2 e n2 , as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2. m . n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.

Exemplo 2:

Dado o trinômio 4x2 – 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2 , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

Exemplo 3:

Dado o trinômio 1 + 9a2 – 6a.
Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de expoentes, ficando assim:
9a2 – 6a + 1.
Agora, tiramos a raiz dos termos 9a2 e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)2.

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4 comentários:

quero saber oq eu faço com uma expressão que naum da pra fatorar de nem um jeito!?

se nao dá para fatorar nao fatore, isso significa que a expressao é irredutivel

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