Triângulos

Os triângulos mais simples são classificados de acordo com os limites das proporções relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes ou seja iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
Um triângulo Isósceles possui pelo menos dois lados e dois ângulos congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

Triângulo Equilátero









Triângulo Isósceles










Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Triângulo Escaleno









Altura de um Triângulo

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.
O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reo; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro forma um sistema ortocêntrico.


A altura de todo e qualquer triângulo é dado pela fórmula :
h² = b² - (c - x)(c + x)
   
b = hipotenusa do triângulo retângulo formado com a altura do triângulo em questão.

h = altura procurada.


Área de um Triângulo

Produto Base Altura

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:

 onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.


Triângulos equiláteros
Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com:

Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é:



.
Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais.

Congruência de Triângulos

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.

Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:



1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.











2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.








3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.








4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.











Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.

Dizemos que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes

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