Diferença de 2 cubos

Diferença de 2 Cubos

A diferença de dois cubos é o 7º caso de fatoração de expressões algébricas, o seu raciocínio é o mesmo da soma de 2 cubos, raciocínio esse que esclarece como e quando devemos utilizá-lo, observe a demonstração abaixo:

Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x2 - xy + y2, assim,
devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x - y) (x2 + xy + y2) é necessário utilizar a propriedade distributiva;

x3 +x²y +xy² - x²y –xy² - y3 unir os termos semelhantes;

x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos.

Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y podem assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 - y3 será (x - y) (x2 + xy + y2).

Veja alguns exemplos:

Exemplo1
Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 8x3 – 27, devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos.

No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos deveremos escrever a expressão algébrica 8x3 – 27 da seguinte forma:
(x - y) (x2 + xy + y2). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 8x3 – 27

A raiz cúbica de 8x3 é 2x e a raiz cúbica de 27 é 3. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada
(x - y) (x2 + xy + y2) , ficando assim:

(2x – 3) ((2x)2 + 2x . 3 + 32)

(2x – 3) (4x2 + 6x + 9)

Então, (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x3 – 27.

Exemplo 2
Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica r3 – 64 temos: As raízes cúbicas de r3 é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de x o r e no lugar de y o 4.

(r – 4) (r2 + 4r + 16) é a forma fatorada de r3 – 64.

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2 comentários:

Muito Bom!!!!!

Estou aprendendo a calcular limites e em certos momentos há necessidade extrema de saber fatoração.
Aliás, há algum post referente a limites ? Ou sobre alguns "truques" que podem ser feitos para não ter que fazer fatorações complicadas?

Abraço!

Este comentário foi removido pelo autor.

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