1-1+1-1...

Após muito tempo desse blog parado, fui convidado pra tirar a poeira e animar um pouco as coisas por aqui e já cheguei com uma pegada um pouco diferente, algo que para um entendimento completo vai necessitar de um pouco de abstração, mas confio no público e sei que não vai ser uma tarefa tão difícil.

O que vou propor é o seguinte, imagine uma soma infinita, mas não qualquer soma, a soma deve ser esta:
1-1+1-1+1-1...
Quanto seria o resultado final desta conta?

Uma das respostas possíveis é colocar os parênteses assim:
(1-1)+(1-1)+(1-1)...
O que logicamente resultará em 0+0+0... = 0

Outra resposta possível é colocar os parênteses desta forma:1(-1+1)(-1+1)(-1+1)...
Resultando em 1+0+0+0...=1

Mas eu não estou falando disso, isso seria fácil demais de se compreender, eu me refiro a algo um pouco mais complexo e agora entra a parte legal e esquisita desta história.


Suponhamos que exista um número                S=(1-1+1-1+1...)
Então podemos dizer que                              1 - S = 1 - (1-1+1-1+1...)
E se tirarmos os parênteses temos algo assim 1 - S = 1-1+1-1+1...
Portanto, veja que estranho                           1 - S = S
Passando S para o mesmo lado                     2S = 1

E para fechar esse show                                S= 1/2

Que bizarro, não? Se eu fizer uma soma infinita de 1 e -1 eu posso obter como resultado 0, 1 ou 1/2.
O cara que primeiramente pensou nisso foi um italiano chamado Grandi em 1703. E como já era esperado, quando ele percebeu isso ele pensou "Mas que coisa estranha" ou se preferirem "Ma che cosa strana" e até a comunidade de matemáticos da época não queria aceitar. Mas após um tempo eles viram que havia uma justificativa bem plausível e até hoje é a resposta aceita pela maioria dos matemáticos.


Eu primeiramente vi isso aqui, no canal desses ingleses,e depois neste fórum (ambas as páginas estão em inglês).

Espero que não tenha sido tão complicado de entender e até mais.

Equações Modulares


Denominamos equação modular toda equação que contém a incógnita em um módulo.
Segundo a definição do módulo temos:
Donde concluímos que o módulo de um número real x é positivo ou nulo, nunca negativo.
Após esta breve revisão de módulo, vamos ver como podemos solucionar alguns tipos de equações modulares.

Solucionando Equações Modulares no Conjunto dos Números Reais

Para encontrarmos os valores de x que tornam esta equação verdadeira, devemos eliminar o módulo e escrever duas equações. Na primeira o segundo membro será o oposto de 11 e na outra será o próprio número 11:
Em relação a estas duas equações não há o que pensar. -11 e 11 são solução da equação .
Se quisermos a resposta na forma de um conjunto, representando por S o conjunto solução, temos:
Solucionemos agora este exemplo não tão óbvio.
Assim como fizemos na caso anterior, vamos eliminar o módulo escrevendo duas equações, sendo que em uma delas inverteremos o sinal do segundo membro.
Basta, portanto, solucionarmos cada uma delas e começando pela primeira:
Para a segunda equação temos:
Portanto  e 4 são as soluções desta equação.
No exemplo anterior havíamos desmembrando a equação modular em duas equações afim, neste exemplo a desmembraremos em duas equações quadráticas:
Vamos solucionar a primeira:
Quais são os números que somados totalizam 6 e que multiplicados produzem 9?
Não há dúvida de que 3 + 3 = 6 e de que . 3 = 9, então segundo as relações de Albert Girard o número 3 são as raízes desta equação.
Agora vamos solucionar a segunda equação:
Calculemos então o discriminante desta equação:
Finalmente temos o conjunto solução da equação :
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiramente vamos substituir |x| por y e encontrarmos as raízes da equação:
O discriminante é igual a 25:
O que nos leva às seguintes raízes:
Como inicialmente havíamos trocado o |x| por y, devemos desfazer a troca.
Para :
Como podemos observar, não existe um x real cujo |x| seja igual a -2, pois o módulo de um número real nunca poderá resultar em um número negativo.
Para :
Logo o conjunto solução da equação :
Solucionarmos esta equação modular precisamos analisar quando  e quando .
Quando  então , logo  e portanto:
Quando  então , logo  e consequentemente:
Concluindo:
Como pudemos observar, cada tipo de equação pode necessitar de um artifício específico para a sua resolução, no entanto em todos os casos precisamos levar em consideração a definição de módulo.